В 1882 году Феликс Клейн выдвинул идею о том, как сделать такой объект, который будет заключать в себе одну замкнутую поверхность и при этом не будет обладать ни одним краем. Он взял мысленно цилиндр, воткнул один его край в бок и соединил со вторым краем. Так он получил бутылку Клейна.

Помимо того, что у этой бутылки нет краев, главной ее особенностью является то, что у нее имеется только одна сторона. Под понятием «одна сторона» подразумевается следующее: если мы мысленно начнем идти по поверхности данного объекта, то мы сможем обойти всю ее площадь как внутри, так и снаружи. Идя по внешней части, мы можем зайти в дырку, при этом не перебираясь не через какие края, поскольку их тут просто нет. Пройдя в эту дырку мы попадем внутрь и сможем обойти и там всю поверхность.

Сравнивая с обычной бутылкой, можно заметить, что у обычной бутылки имеется две поверхности — внешняя и внутренняя. При этом внешняя и внутренняя поверхность отделены краем горлышка. Если мы представим бутылку абсолютно тонкой, то ее край, то есть ее горлышко, станет абсолютно острым. И если мы мысленно будем ходить по ее внешнему краю и попытаемся попасть внутрь, то нас просто разрежет. В случае с абсолютно тонкой бутылкой Клейна мы можем попасть абсолютно в любую точку, не отрываясь от поверхности.

Если бы мы жили во Вселенной с четырьмя макроскопическими пространственными измерениями, то бутылка Клейна раскрыла бы перед нами еще одно интересное свойство. В трехмерном случае то место, где тонкая часть бутылки Клейна врезается в стенку является для нас препятствием, однако в четырех измерениях это место перестает быть препятствием, что и иллюстрирует следующая анимация:

Если мы предположим, что бутылка Клейна состоит из какого-то неупругого материала, то мы можем пытаться выворачивать ее бесконечно, однако такой объект всегда будет сохранять свою форму и свои свойства. Бутылка Клейна также не зависит от размеров. Этот объект можно увеличить, можно уменьшить, можно сжать, а можно растянуть, но он все равно не изменит своих математических свойств. Помимо одной замкнутой поверхности бутылку Клейна и ленту Мебиуса объединяет кое-что большее. Если мы разделим бутылку Клейна вдоль ее линии симметрии, то мы получим ничто иное, как две одинаковые ленты Мебиуса. Единственным отличием этих лент будет являться то, что они будут представлять зеркальное отражение друг относительно друга.